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教研论文

在体验中思考的数学课堂实践(段文山)

在体验中思考的数学课堂实践

 

 

学生动手了……

1:在上节课中,求第个图案中所需纸片块数时,按行计算,即,现在就应该按层计算,第层所需纸片块数为,因此层塔所需纸片块为=.

师:这是等差数列求和吗?

生:不是.

2:但我们发现从第2项起,后一项减前一项得到的数列:234,…,是一个等差数列.

师:这一发现太重要了,能一个关系式表示吗?

2:我们试试…

3:我行!

师:精彩!根据第n层所堆纸片块数,其它各层的块数是不是也可以写成这个形式?

生:.

师:很好!前面我们已经会求等差、等比数列的前项和,这类和怎么求呢?

根据加法的交换律,有:

.

我们称这种数列求和的方法为“分组法”,这里:.

于是.

老师还说完,学生就有话说.

生:怎么来的?讲一下吧.

评注:当操作与思维情感联系起来时,操作便成为培养学生创新意识的源泉.“分组法”容易理解,为什么突然“冒出” 呢?如果老师只告诉学生,课本第58页给出了这个公式,学生课后自己上网去了解它的推导,这样未尝不可,但却没能把学生的思考引向深入.

师:这个问题还真令老师措手不及,不过,我想到了前面了解过的正方形数,我们是不是将图4中各个图案中的纸片块也象刚才那样操作,垒成一个“塔”,…

生:垒一个层塔所需纸片块数为.(太神了!)

师:求1+2+3++时,用的是“倒序相加”法,却将123,…,摆成一个三角形,然后顺时针旋转180°得到一个倒放的三角形,两者拼成一个平行四边形再求和,这种思维对于求的和是否会有启发呢?

生:尝试、讨论、合作、交流…

师:要摆成三角形状,要将所有数都摆完.

生:可是纸片中只有1,哪能得到?

师:那我们就在纸片背面分别标上数字:1234,…,怎么样?

评注:数学家波利亚说:“一个涌上脑际的念头,倘若毫无困难地通过一些明显的行动就达到了所求的目标,那就不会产生问题.然而,倘若我想不出这样明显的行动来,那就产生了问题.那就意味着要去找出适当的行动,去达到一个可见而不即时可及的目的.”“纸片只标有1,那就在背面再标数字!”新知识在学生的体验中自然而然产生.

4:我们成功了.如图7-1.

 

 

 

 

 

 

5:可是,将图7-1顺时针针旋转180°后的图案与原图案拼在一起后,各行上的数字之和不相等.

师:我们既要受前面试验的启发,又不要受它的束缚.

生:转30°、45°、60°、90°、…,尝试着.

师:一个三角形有几个角?

生:3.

6:有了,转2次,每次只转120°,如图7-17-27-3拼成一起,每个位置上的数字之各均为.

所以=.

师:掌声!

生:至此恍然大悟.“形数理论”的威力真大呀!

正当师生们沉醉于成功的喜悦中之际,一位同学提出自己当时有别于生6的想法:

7:老师既然说背面可标数字,我也标了数字,不过我当时理解为所标数字是每个正方形的边长,这样就成了:.

师:太有才了!那是不是也可以用“形数理论”求前个正整数的立方和呢?

生:上述两种垒的形状,从上到下各层的纸片块数分别为:13610,…和14916,….

8:可以!如果各层纸片块数分别为1234,…,并且各纸片将分别是边长分别为1234,…的正方体,垒成塔的正视图如图8,其面积等于的面积,于是==.

师:这真是无巧不成书!太精彩了,我为你们的表演而骄傲.

评注:一次又一次的体验活动激发学生积极思考,积极地思考带动他们大胆探索,探索的过程中学生有新奇的发现,在这样不断探索发现的过程中,学生们享受着探索带给他们的兴奋,享受着与发现随之而来的兴奋,这种因探索而产生的创造带给同学们的喜悦更具生命力.

实践证明,在体验中思考的数学课堂实践是受学生欢迎的,在体验中探究的形式进行教学,使学生“动”起来,使数学课“活”起来,学生的学习兴趣大提高.这不仅培养了学生提出问题,分析问题,发现问题,解决问题的能力,也培养了学生的科学探究和互相团结合作的精神.

 

          528400 广东省壹定发国际 段文山

                                                    

新课标倡导积极主动、勇于探索的课堂教学实践,动手操作的体验课堂随处可见,然而,怎样的体验课堂才能创造出一个个惊喜呢?通过动手操作,使学生获得的不仅是知识与技能,更有一种认识事物的方式,一种超越现象认识隐藏于背后的本质的追求.本人尝试:“在实践中体验,在体验中思考,在思考中感悟,在感悟中创新”的数学课堂实践,取得了较好的教学效果.

1 “操作”中体验

陶行知先生说:“要解放孩子的头脑、双手、脚、空间、时间,使他们充分得到自由的生活,从自由的生活中得到真正的教育.”勇于探索,放手让学生去“做”,已成为广大教师的共识,但如何“做”,为什么这么“做”,是否“做”得更好等诸多问题却仍然困扰着我们.我尝试让学生尽量在真实的活动中获得体验,由表及里地审视数学知识,再现知识的形成过程.

案例Ⅰ“椭圆概念”的认识

师:“嫦娥奔月”,国人振奋.展示“嫦娥二号”探月的图片,并提问:“嫦娥二号”运行的轨道是什么形状?

生:椭圆!

师:同学们借助身边可供操作的素材,尝试着画一个椭圆,边思考椭圆是怎样画成的?

生:积极思考,合作探究,有的用圆规、有的用校卡,有的用小型胶带(学生用品),有的徒手画,有的借助画图板,…….10秒后,不少同学成功地画出了椭圆,极少数同学仍在尝试.

师:有哪位同学能在黑板上展示一下画椭圆的过程吗?

1:用一条绳子(无弹性)对折,一端用左手按住,另一端系一支粉笔,把绳子拉直,将粉笔旋转一圈,松手一望,哟,怎么还是圆呢?

2:将对折后绳子的两个端点稍分开,分别用两个指头按住,中间再用粉笔画.

师:按照这位同学的思路在黑板上画图,故意将绳子变松,画出图:和”

课前准备:将班上同学分成9组,每组56人,每个小组分发大小相同的硬纸片,上面都写着1.这足以引起同学们疑惑……

师:同学们,还记得前面了解过的古希腊毕达哥拉斯学派的浪漫沙滩之旅吗?今天我们还是重温当时的场景,请同学们借助硬纸片将它完成.

生:(释惑)哦!原来要我们玩.很快就摆出如图1、如图2.

师:如图3,第100个图案中摆了几块硬约片?

生:图3中前几个图案中还可以数,越往右边的图案所需块数越多,摆到第100个图案,肯定不够的纸片.

评注:纸片块数不够,这一矛盾引起学生的认知冲突,学生们在做中体验,要体验中不约而同地遇到了困惑,有困惑就有思考,有思考就会有感悟,运用数学学习“再创造”理论,调动学生原有的知识和经验,引导学生在实践中真正“做”数学.

精彩还在继续……

1:不如将其它组的硬纸片都拿过来(急中生智).

2:恐怕不行,要是摆到第1000个图案呢?太麻烦了吧.

师:就是嘛,要请你摆到第2013个图案,也这样一个一个地摆吗?

评注:疑问再次激起同学们探究的欲望,刚刚建立起来的认知平衡,被无情的事实击倒了,迫使他们在熟悉而又具体的问题情境,主动地寻求解决问题的方法.

    到底该怎办?

生:通过实验、操作、讨论、交流,从用硬纸片去摆,比较大时,摆第个图案的纸片块不够,使学生对三角形数由感性认识处升到理性认识.

3:有了!(激动),第个图案的纸片块数为,即将每一行的块数加在一起.

师:很好.那么数列是什么数列?

生:等差数列.

师:这就是我们这节课要学习的内容:“等差数列前和.”(出示课题)

=?呢?

4:在旁边再摆一个一样的倒着放的一样图案,这样每一行的纸片块数相同,如图3,这样就可求=.

师:太妙了!将一个三角形图案顺时针旋转180°后的图案与原图案拼成一个平行四边形状,再求和,这种数列求和的方法叫做“例序相加法”.

5:那正方形数也可以这样求,先将它分割为如图4,再由图5可得:

.

 

 

 

 

 

 

师:太棒了!

下面就一般等差数列求前项和.

评注:由“经历”到“经验”非常重要的是思维和情感的真正参与,把操作活动变成学生的自觉行为,同时将知识和思想方法进行内化,由此诞生真正的数学思想.

3  “思考”中创新

层塔共需几个纸片块?

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